Rechteck und Quadrat
P = a · b, L = 2(a + b)Fläche90
- Umfang39
- Diagonale14,151
- Fläche des Quadrats mit der Seite a144
Mathematik
Geometrie
Flächen und Umfänge von Figuren, Volumen von Körpern, Satz des Pythagoras und Trigonometrie.
Die meisten praktischen Berechnungen — wie viel Farbe für die Wände, wie viele Liter ein Behälter fasst, ob ein Winkel ein rechter ist — laufen auf einige wenige Formeln für Fläche und Volumen hinaus. Die Ergebnisse werden zusammen mit den abgeleiteten Größen angegeben: Diagonale, Mantellinie, Höhe und Umkreisradius.
Rechner
10Dreieck aus drei Seiten
Formel von HeronFläche26,8328
- Umfang24
- Höhe auf die Seite a7,6665
- Winkel gegenüber Seite c73,4°
- Umkreisradius4,6957
Satz des Pythagoras
c = √(a² + b²)Hypotenuse5
- Fläche des Dreiecks6
- Umfang12
- Winkel an Seite a53,13°
Kreis
P = πr², L = 2πrFläche78,5398
- Umfang31,4159
- Durchmesser10
- Fläche des Halbkreises39,2699
Trapez
P = (a + b) · h / 2Fläche32
- Mittellinie8
- Dreiecksfläche a · h20
Quader
V = a · b · cVolumen9.000
- Oberfläche2.700
- Diagonale39,0512
- Volumen in Litern (Maße in cm)9
Zylinder
V = πr²hVolumen502,6548
- Mantelfläche251,3274
- Gesamtoberfläche351,8584
- Volumen in Litern (Maße in cm)0,5027
Kugel und Kegel
V = 4/3 πr³ ; V = πr²h / 3Volumen der Kugel904,7787
- Oberfläche der Kugel452,3893
- Volumen des Kegels376,9911
- Mantellinie des Kegels11,6619
Trigonometrie des Winkels
sin, cos, tg (in Grad)sin0,5
- cos0,866025
- tg0,57735
- Im Bogenmaß0,523599
- Komplementärwinkel60°
Winkel aus der Umkehrfunktion
arcsin, arccos, arctgWinkel30°
- Im Bogenmaß0,523599
- sin des Winkels0,5
- cos des Winkels0,866025
Tabellen und Spickzettel
3Flächen und Umfänge ebener Figuren
h — Höhe, r — Radius, d — Diagonale| Figur | Fläche | Umfang |
|---|---|---|
| Quadrat | a² | 4a |
| Rechteck | a · b | 2(a + b) |
| Dreieck | a · h / 2 | a + b + c |
| gleichseitiges Dreieck | a²√3 / 4 | 3a |
| Parallelogramm | a · h | 2(a + b) |
| Raute | d₁ · d₂ / 2 | 4a |
| Trapez | (a + b) · h / 2 | a + b + c + d |
| Kreis | πr² | 2πr |
| Kreissektor | πr² · α / 360° | 2r + 2πr · α / 360° |
Volumen und Oberflächen von Körpern
Pp — Grundfläche, Pb — Mantelfläche, l — Mantellinie| Körper | Volumen | Oberfläche |
|---|---|---|
| Würfel | a³ | 6a² |
| Quader | a · b · c | 2(ab + ac + bc) |
| Prisma | Pp · h | 2Pp + Pb |
| Zylinder | πr² · h | 2πr(r + h) |
| Pyramide | Pp · h / 3 | Pp + Pb |
| Kegel | πr² · h / 3 | πr(r + l) |
| Kugel | 4/3 · πr³ | 4πr² |
Besondere Winkel
exakte und gerundete Werte| Winkel | sin | cos | tg | Bogenmaß |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 30° | 1/2 = 0,5 | √3/2 ≈ 0,866 | √3/3 ≈ 0,577 | π/6 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,707 | √2/2 ≈ 0,707 | 1 | π/4 |
| 60° | √3/2 ≈ 0,866 | 1/2 = 0,5 | √3 ≈ 1,732 | π/3 |
| 90° | 1 | 0 | existiert nicht | π/2 |
| 180° | 0 | −1 | 0 | π |
Beispielaufgaben mit Lösungsweg
2Wie viel Farbe für die Wände eines Zimmers
Zimmer 5 × 4 m, Höhe 2,7 m. Für Fenster und Türen werden 3 m² abgezogen. Die Farbe reicht für 10 m² je Liter, gestrichen wird zweimal.
- Umfang des Zimmers
2 · (5 + 4) = 18 m - Wandfläche
18 · 2,7 = 48,6 m² - Öffnungen abziehen
48,6 − 3 = 45,6 m² - Zwei Anstriche
45,6 · 2 = 91,2 m² zu streichen - Durch die Ergiebigkeit teilen
91,2 / 10 = 9,12 Liter
Antwort: Nötig sind rund 9,2 Liter Farbe, mit Reserve gekauft also 10 Liter.
Volumen eines zylindrischen Behälters
Ein Behälter hat einen Radius von 40 cm und eine Höhe von 1,2 m. Wie viele Liter fasst er?
- Einheiten angleichen
r = 40 cm = 0,4 m, h = 1,2 m - Formel für das Volumen des Zylinders
V = πr²h = π · 0,16 · 1,2 - Berechnen
V = 0,6032 m³ - In Liter umrechnen
1 m³ = 1.000 Liter → 603,2 Liter
Antwort: Der Behälter fasst rund 603 Liter.
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Siehe auch
ZahlenggT und kgV, Primfaktoren, Potenzen, Zahlensysteme, römische Zahlen, Kombinatorik.Gleichungen und FolgenLineare und quadratische Gleichungen, Systeme aus zwei Gleichungen, arithmetische und geometrische Folgen.StatistikMittelwert, Median, Quartile, Standardabweichung, gewichtetes Mittel und Umrechnung von Punkten in Noten.