Mathematik

Gleichungen und Folgen

Q: Quadratische Gleichung Schritt für Schritt

Lösen Sie die Gleichung x² − 5x + 6 = 0. Koeffizienten notieren: a = 1, b = −5, c = 6. Diskriminante berechnen: Δ = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1. Diskriminante positiv, also zwei Lösungen: √Δ = 1. In die Formel einsetzen: x₁ = (5 − 1) / 2 = 2, x₂ = (5 + 1) / 2 = 3. Mit dem Satz von Vieta prüfen: x₁ + x₂ = 5 = −b/a, x₁ · x₂ = 6 = c/a. Antwort: x₁ = 2, x₂ = 3.

Q: Gleichungssystem mit Determinanten

Lösen Sie das System: 2x + 3y = 12 und 4x − y = 10. Hauptdeterminante: W = 2 · (−1) − 4 · 3 = −14. Determinante für x: Wx = 12 · (−1) − 10 · 3 = −42. Determinante für y: Wy = 2 · 10 − 4 · 12 = −28. Dividieren: x = −42 / −14 = 3, y = −28 / −14 = 2. In der ersten Gleichung prüfen: 2 · 3 + 3 · 2 = 12. Antwort: x = 3, y = 2.

Lineare und quadratische Gleichungen, Systeme aus zwei Gleichungen, arithmetische und geometrische Folgen.

Eine quadratische Gleichung wird über die Diskriminante gelöst, und deren Vorzeichen sagt schon vorab, wie viele Lösungen es gibt. Das System aus zwei Gleichungen wird mit Determinanten berechnet, die sofort zeigen, ob es genau eine Lösung hat. Bei Folgen werden das Glied mit beliebiger Nummer und die Summe berechnet.

Rechner

Lineare Gleichung

ax + b = 0 ⇒ x = −b / a

Koeffizient a

Absolutglied b

Nullstelle3
Wert für x = 1-5
Steigung2,5

Quadratische Gleichung

ax² + bx + c = 0, Δ = b² − 4ac

Koeffizient a

Koeffizient b

Absolutglied c

Lösungen2 ; 3

Diskriminante1
Summe der Lösungen5
Produkt der Lösungen6
Scheitelpunkt(2,5 ; -0,25)

System aus zwei Gleichungen

a₁x + b₁y = c₁ ; a₂x + b₂y = c₂

a₁

b₁

c₁

a₂

b₂

c₂

Lösungx = 3 ; y = 2

Determinante W-14
Determinante Wx-42
Determinante Wy-28

Arithmetische Folge

aₙ = a₁ + (n − 1) · r

Erstes Glied a₁

Differenz r

Gliednummer n

Glied Nummer 2098

Summe von n Gliedern1.010
Mittleres Glied50,5
Hundertstes Glied498

Geometrische Folge

aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

Erstes Glied a₁

Quotient q

Gliednummer n

Glied Nummer 1076,8867

Summe von n Gliedern226,6602
Unendliche Summedivergent
Zuwachs je Glied50,00 %

Tabellen und Spickzettel

Binomische Formeln

Formel	Ausmultipliziert	Beispiel
(a + b)²	a² + 2ab + b²	(x + 3)² = x² + 6x + 9
(a − b)²	a² − 2ab + b²	(x − 5)² = x² − 10x + 25
a² − b²	(a − b)(a + b)	x² − 49 = (x − 7)(x + 7)
(a + b)³	a³ + 3a²b + 3ab² + b³	(x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1
a³ − b³	(a − b)(a² + ab + b²)	x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4)
a³ + b³	(a + b)(a² − ab + b²)	x³ + 27 = (x + 3)(x² − 3x + 9)

Diskriminante und Satz von Vieta

für die Gleichung ax² + bx + c = 0

Bedingung	Lösungen	Hinweis
Δ > 0	x = (−b ± √Δ) / 2a	zwei verschiedene Lösungen
Δ = 0	x₀ = −b / 2a	eine doppelte Lösung
Δ < 0	keine reellen Lösungen	die Parabel schneidet die x-Achse nicht
Summe der Lösungen	x₁ + x₂ = −b / a	Satz von Vieta
Produkt der Lösungen	x₁ · x₂ = c / a	Satz von Vieta

Beispielaufgaben mit Lösungsweg

Quadratische Gleichung Schritt für Schritt

Lösen Sie die Gleichung x² − 5x + 6 = 0.

Koeffizienten notierena = 1, b = −5, c = 6
Diskriminante berechnenΔ = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
Diskriminante positiv, also zwei Lösungen√Δ = 1
In die Formel einsetzenx₁ = (5 − 1) / 2 = 2, x₂ = (5 + 1) / 2 = 3
Mit dem Satz von Vieta prüfenx₁ + x₂ = 5 = −b/a, x₁ · x₂ = 6 = c/a

Antwort: x₁ = 2, x₂ = 3.

Gleichungssystem mit Determinanten

Lösen Sie das System: 2x + 3y = 12 und 4x − y = 10.

HauptdeterminanteW = 2 · (−1) − 4 · 3 = −14
Determinante für xWx = 12 · (−1) − 10 · 3 = −42
Determinante für yWy = 2 · 10 − 4 · 12 = −28
Dividierenx = −42 / −14 = 3, y = −28 / −14 = 2
In der ersten Gleichung prüfen2 · 3 + 3 · 2 = 12

Antwort: x = 3, y = 2.

Siehe auch

ZahlenggT und kgV, Primfaktoren, Potenzen, Zahlensysteme, römische Zahlen, Kombinatorik.GeometrieFlächen und Umfänge von Figuren, Volumen von Körpern, Satz des Pythagoras und Trigonometrie.StatistikMittelwert, Median, Quartile, Standardabweichung, gewichtetes Mittel und Umrechnung von Punkten in Noten.