Mathématiques

Équations et suites

Q: Équation du second degré pas à pas

Résolvez l'équation x² − 5x + 6 = 0. Relevez les coefficients: a = 1, b = −5, c = 6. Calculez le discriminant: Δ = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1. Discriminant positif, donc deux racines: √Δ = 1. Remplacez dans la formule: x₁ = (5 − 1) / 2 = 2, x₂ = (5 + 1) / 2 = 3. Vérifiez avec les relations de Viète: x₁ + x₂ = 5 = −b/a, x₁ · x₂ = 6 = c/a. Réponse: x₁ = 2, x₂ = 3.

Q: Système d'équations par les déterminants

Résolvez le système : 2x + 3y = 12 et 4x − y = 10. Déterminant principal: W = 2 · (−1) − 4 · 3 = −14. Déterminant pour x: Wx = 12 · (−1) − 10 · 3 = −42. Déterminant pour y: Wy = 2 · 10 − 4 · 12 = −28. Divisez: x = −42 / −14 = 3, y = −28 / −14 = 2. Vérifiez dans la première équation: 2 · 3 + 3 · 2 = 12. Réponse: x = 3, y = 2.

Équations du premier et du second degré, systèmes de deux équations, suites arithmétiques et géométriques.

Une équation du second degré se résout par le discriminant, dont le signe annonce d'avance le nombre de racines. Le système de deux équations est traité par la méthode des déterminants, qui montre tout de suite s'il admet une solution unique. Les suites donnent le terme de rang quelconque et la somme.

Calculateurs

Équation du premier degré

ax + b = 0 ⇒ x = −b / a

Coefficient a

Terme constant b

Zéro de la fonction3
Valeur pour x = 1-5
Pente2,5

Équation du second degré

ax² + bx + c = 0, Δ = b² − 4ac

Coefficient a

Coefficient b

Terme constant c

Racines2 ; 3

Discriminant1
Somme des racines5
Produit des racines6
Sommet(2,5 ; -0,25)

Système de deux équations

a₁x + b₁y = c₁ ; a₂x + b₂y = c₂

a₁

b₁

c₁

a₂

b₂

c₂

Solutionx = 3 ; y = 2

Déterminant W-14
Déterminant Wx-42
Déterminant Wy-28

Suite arithmétique

aₙ = a₁ + (n − 1) · r

Premier terme a₁

Raison r

Rang du terme n

Terme numéro 2098

Somme des n premiers termes1 010
Terme central50,5
Centième terme498

Suite géométrique

aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

Premier terme a₁

Raison q

Rang du terme n

Terme numéro 1076,8867

Somme des n premiers termes226,6602
Somme infiniedivergente
Croissance par terme50,00 %

Tableaux et aide-mémoire

Identités remarquables

Formule	Développement	Exemple
(a + b)²	a² + 2ab + b²	(x + 3)² = x² + 6x + 9
(a − b)²	a² − 2ab + b²	(x − 5)² = x² − 10x + 25
a² − b²	(a − b)(a + b)	x² − 49 = (x − 7)(x + 7)
(a + b)³	a³ + 3a²b + 3ab² + b³	(x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1
a³ − b³	(a − b)(a² + ab + b²)	x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4)
a³ + b³	(a + b)(a² − ab + b²)	x³ + 27 = (x + 3)(x² − 3x + 9)

Discriminant et relations de Viète

pour l'équation ax² + bx + c = 0

Condition	Racines	Attention
Δ > 0	x = (−b ± √Δ) / 2a	deux racines distinctes
Δ = 0	x₀ = −b / 2a	une racine double
Δ < 0	pas de racines réelles	la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses
somme des racines	x₁ + x₂ = −b / a	relations de Viète
produit des racines	x₁ · x₂ = c / a	relations de Viète

Exercices corrigés

Équation du second degré pas à pas

Résolvez l'équation x² − 5x + 6 = 0.

Relevez les coefficientsa = 1, b = −5, c = 6
Calculez le discriminantΔ = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
Discriminant positif, donc deux racines√Δ = 1
Remplacez dans la formulex₁ = (5 − 1) / 2 = 2, x₂ = (5 + 1) / 2 = 3
Vérifiez avec les relations de Viètex₁ + x₂ = 5 = −b/a, x₁ · x₂ = 6 = c/a

Réponse: x₁ = 2, x₂ = 3.

Système d'équations par les déterminants

Résolvez le système : 2x + 3y = 12 et 4x − y = 10.

Déterminant principalW = 2 · (−1) − 4 · 3 = −14
Déterminant pour xWx = 12 · (−1) − 10 · 3 = −42
Déterminant pour yWy = 2 · 10 − 4 · 12 = −28
Divisezx = −42 / −14 = 3, y = −28 / −14 = 2
Vérifiez dans la première équation2 · 3 + 3 · 2 = 12

Réponse: x = 3, y = 2.

Voir aussi

NombresPGCD et PPCM, facteurs premiers, puissances, bases de numération, chiffres romains, dénombrement.GéométrieAires et périmètres des figures, volumes des solides, théorème de Pythagore et trigonométrie.StatistiquesMoyenne, médiane, quartiles, écart-type, moyenne pondérée et conversion des points en notes.