Mathématiques

Nombres

Q: Simplification d'une fraction par le plus grand commun diviseur

Simplifiez la fraction 144/216. Décomposez le numérateur: 144 = 2⁴ · 3². Décomposez le dénominateur: 216 = 2³ · 3³. Les facteurs communs donnent le PGCD: PGCD = 2³ · 3² = 72. Divisez le numérateur et le dénominateur: 144 / 72 = 2, 216 / 72 = 3. Réponse: 144/216 = 2/3 ≈ 0,6667, soit 66,67 %.

PGCD et PPCM, facteurs premiers, puissances, bases de numération, chiffres romains, dénombrement.

La décomposition en facteurs premiers est la clé de la simplification des fractions et de la recherche d'un dénominateur commun : le plus grand commun diviseur retient les facteurs communs, le plus petit commun multiple les retient tous. Cette rubrique contient aussi les changements de base, les chiffres romains et le dénombrement.

Calculateurs

PGCD et PPCM

PPCM = a · b / PGCD

Nombre a

Nombre b

PGCD12

PPCM840
La fraction a/b simplifiée7/10
Premiers entre euxnon

Décomposition en facteurs premiers

n = p₁^a · p₂^b · …

Nombre n

Décomposition2³ · 3² · 5

Nombre de diviseurs24
Somme des diviseurs1 170
Nombre premiernon

Puissances et racines

aⁿ et ⁿ√a

Nombre a

Degré n

7 à la puissance 3343

Racine 3-ième1,912931
Racine carrée2,645751
Carré49
Logarithme décimal0,845098

Division euclidienne

a = b · q + r

Dividende a

Diviseur b

Quotient289

Reste3
Exactement289,428571
Division exactenon

Bases de numération

binaire · octal · hexadécimal

Écriture du nombre

Base de départ

En décimal2 026

En binaire11111101010
En octal3752
En hexadécimal7EA
Nombre de bits11

Nombres romains

I V X L C D M

Nombre ou écriture romaine

Écriture romaineMMXXVI

Nombre de caractères6
PrécédenteMMXXV
SuivanteMMXXVII

Factorielle et combinaisons

n! , C(n,k) = n! / (k!(n − k)!)

Combinaisons C(n,k)120

Arrangements sans répétition720
n!3 628 800
k!6
2ⁿ — tous les sous-ensembles1 024

Arrondi et notation scientifique

a ≈ m · 10ⁿ

Nombre

Décimales

Arrondi à 2 décimales12 345,68

Vers le bas12 345,67
Vers le haut12 345,68
Notation scientifique1,2346 · 10⁴
Partie entière12 345

Tableaux et aide-mémoire

Puissances de deux

la base des unités de mémoire informatique

n	2ⁿ	Équivalent
0	1
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32
6	64
7	128
8	256	un octet — 256 valeurs
9	512
10	1 024	1 KiB
11	2 048
12	4 096
13	8 192
14	16 384
15	32 768
16	65 536	plage sur 16 bits
17	131 072
18	262 144
19	524 288
20	1 048 576	1 MiB

Nombres premiers jusqu'à 200

il y en a 46 ; 2 est le seul nombre pair

Plage	Nombres premiers	Combien
1–50	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47	15
51–100	53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97	10
101–150	101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149	10
151–200	151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199	11

Chiffres romains

un symbole plus petit placé avant un plus grand signifie une soustraction

Signe	Valeur	Exemple
I	1	III = 3
IV	4	IV = 5 − 1
V	5	VII = 7
IX	9	IX = 10 − 1
X	10	XXX = 30
XL	40	XLV = 45
L	50	LXX = 70
XC	90	XCIX = 99
C	100	CCC = 300
CD	400	CDL = 450
D	500	DCC = 700
CM	900	CMXC = 990
M	1000	MMXXVI = 2026

Exercices corrigés

Simplification d'une fraction par le plus grand commun diviseur

Simplifiez la fraction 144/216.

Décomposez le numérateur144 = 2⁴ · 3²
Décomposez le dénominateur216 = 2³ · 3³
Les facteurs communs donnent le PGCDPGCD = 2³ · 3² = 72
Divisez le numérateur et le dénominateur144 / 72 = 2, 216 / 72 = 3

Réponse: 144/216 = 2/3 ≈ 0,6667, soit 66,67 %.

Combien de codes peut-on former

Parmi 10 chiffres, vous en choisissez 3 différents. Combien de combinaisons sans tenir compte de l'ordre, et combien en tenant compte de l'ordre ?

Combinaisons : C(10,3)10! / (3! · 7!) = 120
Arrangements, quand l'ordre compte120 · 3! = 720
Si les chiffres pouvaient se répéter10³ = 1 000 codes

Réponse: 120 combinaisons, 720 arrangements, et 1 000 codes si les répétitions sont autorisées.

Voir aussi

GéométrieAires et périmètres des figures, volumes des solides, théorème de Pythagore et trigonométrie.Équations et suitesÉquations du premier et du second degré, systèmes de deux équations, suites arithmétiques et géométriques.StatistiquesMoyenne, médiane, quartiles, écart-type, moyenne pondérée et conversion des points en notes.