Matematyka

Liczby

Q: Skracanie ułamka przez największy wspólny dzielnik

Uprość ułamek 144/216. Rozłóż licznik: 144 = 2⁴ · 3². Rozłóż mianownik: 216 = 2³ · 3³. Wspólne czynniki dają NWD: NWD = 2³ · 3² = 72. Podziel licznik i mianownik: 144 / 72 = 2, 216 / 72 = 3. Odpowiedź: 144/216 = 2/3 ≈ 0,6667, czyli 66,67 %.

NWD i NWW, czynniki pierwsze, potęgi, systemy liczbowe, liczby rzymskie, kombinatoryka.

Rozkład na czynniki pierwsze to podstawa skracania ułamków i szukania wspólnego mianownika: największy wspólny dzielnik zbiera czynniki wspólne, najmniejsza wspólna wielokrotność — wszystkie. Ten dział zawiera też zamianę systemów liczbowych, liczby rzymskie i kombinatorykę.

Kalkulatory

NWD i NWW

NWW = a · b / NWD

Liczba a

Liczba b

NWD12

NWW840
Ułamek a/b po skróceniu7/10
Względnie pierwszenie

Rozkład na czynniki pierwsze

n = p₁^a · p₂^b · …

Liczba n

Rozkład2³ · 3² · 5

Liczba dzielników24
Suma dzielników1170
Liczba pierwszanie

Potęgi i pierwiastki

aⁿ oraz ⁿ√a

Liczba a

Stopień n

7 do potęgi 3343

Pierwiastek stopnia 31,912931
Pierwiastek kwadratowy2,645751
Kwadrat49
Logarytm dziesiętny0,845098

Dzielenie z resztą

a = b · q + r

Dzielna a

Dzielnik b

Iloraz289

Reszta3
Dokładnie289,428571
Dzieli się bez resztynie

Systemy liczbowe

dwójkowy · ósemkowy · szesnastkowy

Zapis liczby

System wejściowy

Dziesiętnie2026

Dwójkowo11111101010
Ósemkowo3752
Szesnastkowo7EA
Liczba bitów11

Liczby rzymskie

I V X L C D M

Liczba albo zapis rzymski

Zapis rzymskiMMXXVI

Liczba znaków6
PoprzedniaMMXXV
NastępnaMMXXVII

Silnia i kombinacje

n! , C(n,k) = n! / (k!(n − k)!)

Kombinacje C(n,k)120

Wariacje bez powtórzeń720
n!3 628 800
k!6
2ⁿ — wszystkie podzbiory1024

Zaokrąglanie i notacja naukowa

a ≈ m · 10ⁿ

Liczba

Miejsc po przecinku

Zaokrąglone do 2 miejsc12 345,68

W dół12 345,67
W górę12 345,68
Notacja naukowa1,2346 · 10⁴
Część całkowita12 345

Tabele i ściągawki

Potęgi dwójki

podstawa informatycznych jednostek pamięci

n	2ⁿ	Odpowiednik
0	1
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32
6	64
7	128
8	256	jeden bajt — 256 wartości
9	512
10	1024	1 KiB
11	2048
12	4096
13	8192
14	16 384
15	32 768
16	65 536	zakres 16 bitów
17	131 072
18	262 144
19	524 288
20	1 048 576	1 MiB

Liczby pierwsze do 200

jest ich 46; dwójka jest jedyną parzystą

Zakres	Liczby pierwsze	Ile
1–50	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47	15
51–100	53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97	10
101–150	101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149	10
151–200	151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199	11

Cyfry rzymskie

znak mniejszy przed większym oznacza odejmowanie

Znak	Wartość	Przykład
I	1	III = 3
IV	4	IV = 5 − 1
V	5	VII = 7
IX	9	IX = 10 − 1
X	10	XXX = 30
XL	40	XLV = 45
L	50	LXX = 70
XC	90	XCIX = 99
C	100	CCC = 300
CD	400	CDL = 450
D	500	DCC = 700
CM	900	CMXC = 990
M	1000	MMXXVI = 2026

Przykłady zadań z rozwiązaniem

Skracanie ułamka przez największy wspólny dzielnik

Uprość ułamek 144/216.

Rozłóż licznik144 = 2⁴ · 3²
Rozłóż mianownik216 = 2³ · 3³
Wspólne czynniki dają NWDNWD = 2³ · 3² = 72
Podziel licznik i mianownik144 / 72 = 2, 216 / 72 = 3

Odpowiedź: 144/216 = 2/3 ≈ 0,6667, czyli 66,67 %.

Ile kodów da się ułożyć

Z 10 cyfr wybierasz 3 różne. Ile jest kombinacji bez znaczenia kolejności, a ile z kolejnością?

Kombinacje: C(10,3)10! / (3! · 7!) = 120
Wariacje, gdy kolejność ma znaczenie120 · 3! = 720
Gdyby cyfry mogły się powtarzać10³ = 1 000 kodów

Odpowiedź: 120 kombinacji, 720 wariacji, a przy powtórzeniach 1 000 kodów.

Zobacz też

GeometriaPola i obwody figur, objętości brył, twierdzenie Pitagorasa i trygonometria.Równania i ciągiRównania liniowe i kwadratowe, układy dwóch równań, ciągi arytmetyczne i geometryczne.StatystykaŚrednia, mediana, kwartyle, odchylenie, średnia ważona i przeliczanie punktów na oceny.