Mathematik

Zahlen

Q: Kürzen eines Bruchs durch den größten gemeinsamen Teiler

Kürzen Sie den Bruch 144/216. Zähler zerlegen: 144 = 2⁴ · 3². Nenner zerlegen: 216 = 2³ · 3³. Die gemeinsamen Faktoren ergeben den ggT: ggT = 2³ · 3² = 72. Zähler und Nenner dividieren: 144 / 72 = 2, 216 / 72 = 3. Antwort: 144/216 = 2/3 ≈ 0,6667, also 66,67 %.

ggT und kgV, Primfaktoren, Potenzen, Zahlensysteme, römische Zahlen, Kombinatorik.

Die Primfaktorzerlegung ist die Grundlage für das Kürzen von Brüchen und die Suche nach dem gemeinsamen Nenner: Der größte gemeinsame Teiler sammelt die gemeinsamen Faktoren, das kleinste gemeinsame Vielfache alle. Dieser Bereich enthält außerdem die Umrechnung von Zahlensystemen, römische Zahlen und die Kombinatorik.

Rechner

ggT und kgV

kgV = a · b / ggT

Zahl a

Zahl b

ggT12

kgV840
Bruch a/b nach dem Kürzen7/10
Teilerfremdnein

Primfaktorzerlegung

n = p₁^a · p₂^b · …

Zahl n

Zerlegung2³ · 3² · 5

Anzahl der Teiler24
Summe der Teiler1.170
Primzahlnein

Potenzen und Wurzeln

aⁿ und ⁿ√a

Zahl a

Grad n

7 hoch 3343

Wurzel 3. Grades1,912931
Quadratwurzel2,645751
Quadrat49
Dekadischer Logarithmus0,845098

Division mit Rest

a = b · q + r

Dividend a

Divisor b

Quotient289

Rest3
Genau289,428571
Teilt ohne Restnein

Zahlensysteme

binär · oktal · hexadezimal

Schreibweise der Zahl

Eingabesystem

Dezimal2.026

Binär11111101010
Oktal3752
Hexadezimal7EA
Anzahl der Bits11

Römische Zahlen

I V X L C D M

Zahl oder römische Schreibweise

Römische SchreibweiseMMXXVI

Anzahl der Zeichen6
VorherigeMMXXV
NächsteMMXXVII

Fakultät und Kombinationen

n! , C(n,k) = n! / (k!(n − k)!)

Kombinationen C(n,k)120

Variationen ohne Wiederholung720
n!3.628.800
k!6
2ⁿ — alle Teilmengen1.024

Runden und wissenschaftliche Notation

a ≈ m · 10ⁿ

Zahl

Nachkommastellen

Gerundet auf 2 Stellen12.345,68

Nach unten12.345,67
Nach oben12.345,68
Wissenschaftliche Notation1,2346 · 10⁴
Ganzzahliger Teil12.345

Tabellen und Spickzettel

Zweierpotenzen

Grundlage der digitalen Speichereinheiten

n	2ⁿ	Entsprechung
0	1
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32
6	64
7	128
8	256	ein Byte — 256 Werte
9	512
10	1.024	1 KiB
11	2.048
12	4.096
13	8.192
14	16.384
15	32.768
16	65.536	Bereich von 16 Bit
17	131.072
18	262.144
19	524.288
20	1.048.576	1 MiB

Primzahlen bis 200

es sind 46; die Zwei ist die einzige gerade

Bereich	Primzahlen	Wie viel
1–50	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47	15
51–100	53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97	10
101–150	101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149	10
151–200	151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199	11

Römische Ziffern

ein kleineres Zeichen vor einem größeren bedeutet Subtraktion

Zeichen	Wert	Beispiel
I	1	III = 3
IV	4	IV = 5 − 1
V	5	VII = 7
IX	9	IX = 10 − 1
X	10	XXX = 30
XL	40	XLV = 45
L	50	LXX = 70
XC	90	XCIX = 99
C	100	CCC = 300
CD	400	CDL = 450
D	500	DCC = 700
CM	900	CMXC = 990
M	1000	MMXXVI = 2026

Beispielaufgaben mit Lösungsweg

Kürzen eines Bruchs durch den größten gemeinsamen Teiler

Kürzen Sie den Bruch 144/216.

Zähler zerlegen144 = 2⁴ · 3²
Nenner zerlegen216 = 2³ · 3³
Die gemeinsamen Faktoren ergeben den ggTggT = 2³ · 3² = 72
Zähler und Nenner dividieren144 / 72 = 2, 216 / 72 = 3

Antwort: 144/216 = 2/3 ≈ 0,6667, also 66,67 %.

Wie viele Codes sich bilden lassen

Aus 10 Ziffern wählen Sie 3 verschiedene aus. Wie viele Kombinationen gibt es ohne Reihenfolge und wie viele mit Reihenfolge?

Kombinationen: C(10,3)10! / (3! · 7!) = 120
Variationen, wenn die Reihenfolge zählt120 · 3! = 720
Wenn sich die Ziffern wiederholen dürften10³ = 1.000 Codes

Antwort: 120 Kombinationen, 720 Variationen und mit Wiederholung 1.000 Codes.

Siehe auch

GeometrieFlächen und Umfänge von Figuren, Volumen von Körpern, Satz des Pythagoras und Trigonometrie.Gleichungen und FolgenLineare und quadratische Gleichungen, Systeme aus zwei Gleichungen, arithmetische und geometrische Folgen.StatistikMittelwert, Median, Quartile, Standardabweichung, gewichtetes Mittel und Umrechnung von Punkten in Noten.