Matematyka

Równania i ciągi

Q: Równanie kwadratowe krok po kroku

Rozwiąż równanie x² − 5x + 6 = 0. Wypisz współczynniki: a = 1, b = −5, c = 6. Policz deltę: Δ = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1. Delta dodatnia, więc dwa pierwiastki: √Δ = 1. Podstaw do wzoru: x₁ = (5 − 1) / 2 = 2, x₂ = (5 + 1) / 2 = 3. Sprawdź wzorami Viète'a: x₁ + x₂ = 5 = −b/a, x₁ · x₂ = 6 = c/a. Odpowiedź: x₁ = 2, x₂ = 3.

Q: Układ równań metodą wyznaczników

Rozwiąż układ: 2x + 3y = 12 oraz 4x − y = 10. Wyznacznik główny: W = 2 · (−1) − 4 · 3 = −14. Wyznacznik dla x: Wx = 12 · (−1) − 10 · 3 = −42. Wyznacznik dla y: Wy = 2 · 10 − 4 · 12 = −28. Podziel: x = −42 / −14 = 3, y = −28 / −14 = 2. Sprawdź w pierwszym równaniu: 2 · 3 + 3 · 2 = 12. Odpowiedź: x = 3, y = 2.

Równania liniowe i kwadratowe, układy dwóch równań, ciągi arytmetyczne i geometryczne.

Równanie kwadratowe rozwiązuje się przez deltę, a jej znak z góry mówi, ile będzie pierwiastków. Układ dwóch równań liczony jest metodą wyznaczników, która od razu pokazuje, czy układ ma jedno rozwiązanie. Ciągi liczą wyraz o dowolnym numerze i sumę.

Kalkulatory

Równanie liniowe

ax + b = 0 ⇒ x = −b / a

Współczynnik a

Wyraz wolny b

Miejsce zerowe3
Wartość dla x = 1-5
Nachylenie2,5

Równanie kwadratowe

ax² + bx + c = 0, Δ = b² − 4ac

Współczynnik a

Współczynnik b

Wyraz wolny c

Pierwiastki2 ; 3

Delta1
Suma pierwiastków5
Iloczyn pierwiastków6
Wierzchołek(2,5 ; -0,25)

Układ dwóch równań

a₁x + b₁y = c₁ ; a₂x + b₂y = c₂

a₁

b₁

c₁

a₂

b₂

c₂

Rozwiązaniex = 3 ; y = 2

Wyznacznik W-14
Wyznacznik Wx-42
Wyznacznik Wy-28

Ciąg arytmetyczny

aₙ = a₁ + (n − 1) · r

Pierwszy wyraz a₁

Różnica r

Numer wyrazu n

Wyraz numer 2098

Suma n wyrazów1010
Wyraz środkowy50,5
Setny wyraz498

Ciąg geometryczny

aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

Pierwszy wyraz a₁

Iloraz q

Numer wyrazu n

Wyraz numer 1076,8867

Suma n wyrazów226,6602
Suma nieskończonarozbieżna
Wzrost na wyraz50,00%

Tabele i ściągawki

Wzory skróconego mnożenia

Wzór	Rozwinięcie	Przykład
(a + b)²	a² + 2ab + b²	(x + 3)² = x² + 6x + 9
(a − b)²	a² − 2ab + b²	(x − 5)² = x² − 10x + 25
a² − b²	(a − b)(a + b)	x² − 49 = (x − 7)(x + 7)
(a + b)³	a³ + 3a²b + 3ab² + b³	(x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1
a³ − b³	(a − b)(a² + ab + b²)	x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4)
a³ + b³	(a + b)(a² − ab + b²)	x³ + 27 = (x + 3)(x² − 3x + 9)

Delta i wzory Viète'a

dla równania ax² + bx + c = 0

Warunek	Pierwiastki	Uwaga
Δ > 0	x = (−b ± √Δ) / 2a	dwa różne pierwiastki
Δ = 0	x₀ = −b / 2a	jeden pierwiastek podwójny
Δ < 0	brak pierwiastków rzeczywistych	parabola nie przecina osi X
suma pierwiastków	x₁ + x₂ = −b / a	wzór Viète'a
iloczyn pierwiastków	x₁ · x₂ = c / a	wzór Viète'a

Przykłady zadań z rozwiązaniem

Równanie kwadratowe krok po kroku

Rozwiąż równanie x² − 5x + 6 = 0.

Wypisz współczynnikia = 1, b = −5, c = 6
Policz deltęΔ = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
Delta dodatnia, więc dwa pierwiastki√Δ = 1
Podstaw do wzorux₁ = (5 − 1) / 2 = 2, x₂ = (5 + 1) / 2 = 3
Sprawdź wzorami Viète'ax₁ + x₂ = 5 = −b/a, x₁ · x₂ = 6 = c/a

Odpowiedź: x₁ = 2, x₂ = 3.

Układ równań metodą wyznaczników

Rozwiąż układ: 2x + 3y = 12 oraz 4x − y = 10.

Wyznacznik głównyW = 2 · (−1) − 4 · 3 = −14
Wyznacznik dla xWx = 12 · (−1) − 10 · 3 = −42
Wyznacznik dla yWy = 2 · 10 − 4 · 12 = −28
Podzielx = −42 / −14 = 3, y = −28 / −14 = 2
Sprawdź w pierwszym równaniu2 · 3 + 3 · 2 = 12

Odpowiedź: x = 3, y = 2.

Zobacz też

LiczbyNWD i NWW, czynniki pierwsze, potęgi, systemy liczbowe, liczby rzymskie, kombinatoryka.GeometriaPola i obwody figur, objętości brył, twierdzenie Pitagorasa i trygonometria.StatystykaŚrednia, mediana, kwartyle, odchylenie, średnia ważona i przeliczanie punktów na oceny.