Matemáticas

Ecuaciones y progresiones

Q: Ecuación cuadrática paso a paso

Resuelve la ecuación x² − 5x + 6 = 0. Anota los coeficientes: a = 1, b = −5, c = 6. Calcula el discriminante: Δ = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1. Discriminante positivo, luego hay dos raíces: √Δ = 1. Sustituye en la fórmula: x₁ = (5 − 1) / 2 = 2, x₂ = (5 + 1) / 2 = 3. Comprueba con las fórmulas de Vieta: x₁ + x₂ = 5 = −b/a, x₁ · x₂ = 6 = c/a. Respuesta: x₁ = 2, x₂ = 3.

Q: Sistema de ecuaciones por determinantes

Resuelve el sistema: 2x + 3y = 12 y 4x − y = 10. Determinante principal: W = 2 · (−1) − 4 · 3 = −14. Determinante para x: Wx = 12 · (−1) − 10 · 3 = −42. Determinante para y: Wy = 2 · 10 − 4 · 12 = −28. Divide: x = −42 / −14 = 3, y = −28 / −14 = 2. Comprueba en la primera ecuación: 2 · 3 + 3 · 2 = 12. Respuesta: x = 3, y = 2.

Ecuaciones lineales y cuadráticas, sistemas de dos ecuaciones y progresiones aritméticas y geométricas.

La ecuación cuadrática se resuelve mediante el discriminante, y su signo dice de antemano cuántas raíces habrá. El sistema de dos ecuaciones se resuelve por determinantes, un método que enseguida revela si el sistema tiene solución única. Las progresiones calculan el término de cualquier posición y la suma.

Calculadoras

Ecuación lineal

ax + b = 0 ⇒ x = −b / a

Coeficiente a

Término independiente b

Cero de la función3
Valor para x = 1-5
Pendiente2,5

Ecuación cuadrática

ax² + bx + c = 0, Δ = b² − 4ac

Coeficiente a

Coeficiente b

Término independiente c

Raíces2 ; 3

Discriminante1
Suma de las raíces5
Producto de las raíces6
Vértice(2,5 ; -0,25)

Sistema de dos ecuaciones

a₁x + b₁y = c₁ ; a₂x + b₂y = c₂

a₁

b₁

c₁

a₂

b₂

c₂

Soluciónx = 3 ; y = 2

Determinante W-14
Determinante Wx-42
Determinante Wy-28

Progresión aritmética

aₙ = a₁ + (n − 1) · r

Primer término a₁

Diferencia r

Número de término n

Término número 2098

Suma de n términos1010
Término central50,5
Término centésimo498

Progresión geométrica

aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

Primer término a₁

Razón q

Número de término n

Término número 1076,8867

Suma de n términos226,6602
Suma infinitadivergente
Crecimiento por término50,00 %

Tablas y chuletas

Identidades notables

Fórmula	Desarrollo	Ejemplo
(a + b)²	a² + 2ab + b²	(x + 3)² = x² + 6x + 9
(a − b)²	a² − 2ab + b²	(x − 5)² = x² − 10x + 25
a² − b²	(a − b)(a + b)	x² − 49 = (x − 7)(x + 7)
(a + b)³	a³ + 3a²b + 3ab² + b³	(x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1
a³ − b³	(a − b)(a² + ab + b²)	x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4)
a³ + b³	(a + b)(a² − ab + b²)	x³ + 27 = (x + 3)(x² − 3x + 9)

Discriminante y fórmulas de Vieta

para la ecuación ax² + bx + c = 0

Condición	Raíces	Atención
Δ > 0	x = (−b ± √Δ) / 2a	dos raíces distintas
Δ = 0	x₀ = −b / 2a	una raíz doble
Δ < 0	sin raíces reales	la parábola no corta el eje X
suma de las raíces	x₁ + x₂ = −b / a	fórmula de Vieta
producto de las raíces	x₁ · x₂ = c / a	fórmula de Vieta

Problemas resueltos paso a paso

Ecuación cuadrática paso a paso

Resuelve la ecuación x² − 5x + 6 = 0.

Anota los coeficientesa = 1, b = −5, c = 6
Calcula el discriminanteΔ = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
Discriminante positivo, luego hay dos raíces√Δ = 1
Sustituye en la fórmulax₁ = (5 − 1) / 2 = 2, x₂ = (5 + 1) / 2 = 3
Comprueba con las fórmulas de Vietax₁ + x₂ = 5 = −b/a, x₁ · x₂ = 6 = c/a

Respuesta: x₁ = 2, x₂ = 3.

Sistema de ecuaciones por determinantes

Resuelve el sistema: 2x + 3y = 12 y 4x − y = 10.

Determinante principalW = 2 · (−1) − 4 · 3 = −14
Determinante para xWx = 12 · (−1) − 10 · 3 = −42
Determinante para yWy = 2 · 10 − 4 · 12 = −28
Dividex = −42 / −14 = 3, y = −28 / −14 = 2
Comprueba en la primera ecuación2 · 3 + 3 · 2 = 12

Respuesta: x = 3, y = 2.

Véase también

NúmerosMCD y mcm, factores primos, potencias, sistemas de numeración, números romanos y combinatoria.GeometríaÁreas y perímetros de figuras, volúmenes de cuerpos, teorema de Pitágoras y trigonometría.EstadísticaMedia, mediana, cuartiles, desviación típica, media ponderada y conversión de puntos en notas.